Чтобы правильно поставить существительные в скобках в нужный падеж на немецком языке, нужно сначала определить, какой падеж требуется в каждом из предложений.
Die Freundin schreibt (der Soldat) Briefe.
В этом предложении необходимо определить, какое слово является дополнением. "Брифы" (Briefe) является прямым дополнением, а "солдат" (Soldat) здесь стоит в дательном падеже, так как он является адресатом, получателем действия (кому пишет?). Дательный падеж для мужского рода единственного числа: dem Soldaten.
Правильное предложение:
Die Freundin schreibt dem Soldaten Briefe.
Die Mutter (der Soldaten) kennt meine Freundin gut und lobt sie.
В этом предложении слово "солдат" должно быть в родительном падеже, так как это указывает на принадлежность (чья мать?). Родительный падеж для слова "солдат" во множественном числе: der Soldaten.
Правильное предложение:
Die Mutter der Soldaten kennt meine Freundin gut und lobt sie.