В предложениях, которые вы привели, требуется правильно определить падеж и склонение существительных, стоящих в скобках. В немецком языке падеж существительного зависит от предлога, с которым оно употребляется, и от функции, которую оно выполняет в предложении.
Ich stelle die Blumen auf (der Tisch) – В данном предложении используется предлог "auf", требующий аккузатив при указании на направление действия (куда?).
Ответ: Ich stelle die Blumen auf den Tisch.
Jetzt stehen sie auf (der Tisch) – Здесь "auf" используется с локативным значением (где?), что требует датива.
Ответ: Jetzt stehen sie auf dem Tisch.
Der Junge setzt sich auf (der Stuhl) – Предлог "auf" здесь тоже указывает на направление (куда садится?), следовательно, нужен аккузатив.
Ответ: Der Junge setzt sich auf den Stuhl.
Die Äpfel lege ich in (der Korb) – Предлог "in" с аккузативом указывает на направление (в какой контейнер кладут?).
Ответ: Die Äpfel lege ich in den Korb.
Sie liegen in (der Kord) – "In" с дативом используется для указания местоположения (где лежат?).
Ответ: Sie liegen in dem Korb.
Ich hänge die Karte an (die Tafel) – "An" с аккузативом означает направление вешания (на что вешают?).
Ответ: Ich hänge die Karte an die Tafel.
Sie hängt an (die Tafel) – С предлогом "an" и дативом указывается местоположение (где висит?).
Ответ: Sie hängt an der Tafel.
Обратите внимание на то, как меняется артикль в зависимости от падежа и рода существительного.